Adaptation locale : il s'agit d'une proposition pédagogique transversale, non d'une séance officiellement validée pour un programme national. Adaptez l'intitulé du niveau, la durée et les exigences aux textes de votre établissement.
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Préparation de l'enseignant
- Prérequis
- Pairs/impairs, carrés d'entiers et idée de contre-exemple.
- Matériel
- Tableau n, n², n²+n.
- Question de lancement
- Combien de tests faut-il pour réfuter une affirmation sur tous les entiers ?
Situation de départ
Une IA affirme que n²+n est impair pour tout entier naturel.
Données et support de l’exercice
n=0,1,2,3 ; expression factorisée n(n+1).
Déroulement pédagogique
- 1. Observer et rechercher (10 min)
Calculer les quatre valeurs et formuler un contre-exemple.
- 2. Confronter et argumenter (20 min)
Proposer l'énoncé corrigé puis examiner les justifications d'une IA.
- 3. Réinvestir individuellement (20 min)
Rédiger une démonstration par le produit de deux entiers consécutifs.
Questions à poser aux élèves
- Choisis une valeur de n qui invalide la phrase initiale.
- Que montre la factorisation n(n + 1) pour tout entier n ?
Production attendue
Une réfutation et une preuve courte.
Accompagnement guidé
Tableau des quatre premières valeurs et rappel de la parité.
Pour aller plus loin
Comparer réfutation par contre-exemple et preuve d'universalité.
Autre variante
Débutants : valeurs ; avancés : quantificateurs.
Afficher les éléments de correction (enseignant)
n(n+1) est pair pour tout entier naturel, car deux entiers consécutifs comptent toujours un nombre pair.
Erreurs fréquentes à anticiper
- Conclure « toujours pair » parce que quatre exemples sont pairs.
- Confondre preuve et liste d'essais.
Vérification de fin de séance
Question : Un seul contre-exemple suffit-il à réfuter « pour tout n » ?
Réponse ou élément attendu : Oui ; un contre-exemple suffit à nier une proposition universelle.
Les élèves doivent pouvoir justifier leur travail indépendamment d’une réponse fournie par l’IA.
Grille d'évaluation formative
Attribuer 0 point si le critère n'est pas satisfait, 1 point s'il est partiellement atteint, 2 points s'il est atteint avec justification. Total indicatif : 6 points, à adapter au contexte.
| Critère | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| Contre-exemple correctement calculé. | ☐ | ☐ | ☐ |
| Nouvel énoncé vrai formulé. | ☐ | ☐ | ☐ |
| Justification générale valide. | ☐ | ☐ | ☐ |
Il s'agit d'un outil d'observation, non d'un barème officiel.
Proposition d’utilisation de l’IA
L'enseignant peut adapter ce prompt à son outil autorisé ; aucune donnée d'élève n'est requise.
Invente une fausse conjecture arithmétique et demande un contre-exemple, sans donner la solution.
Point de vigilance
Les exemples ne remplacent pas une preuve universelle.